In de vorige post zei ik dat het oplossen van de vergelijking van Laplace op de eenheidsschijf belangrijk was omdat de eenheidsschijf een soort “hub” is van conforme afbeeldingen: er zijn referenties en algoritmen voor het conform in kaart brengen van regio’s van en naar een schijf.
Het bovenste halfvlak is een soort secundaire hub. Misschien wilt u twee regio’s van en naar elkaar in kaart brengen via een halfvlak. En net als bij de schijf is er een expliciete oplossing voor Laplace’s vergelijking op een halfvlak.
Een andere reden om geïnteresseerd te zijn in de vergelijking van Laplace op een halfvlak is de verbinding met de Hilbert-transformatie en harmonische conjugaten.
Gegeven een continue functie met reële waarde u op de echte lijn, u kan worden uitgebreid tot een harmonische functie op het bovenste halfvlak door de convolutie van te nemen u met de Poisson-kernel, een variatie op de Poisson-kernel uit de vorige post. Dat wil zeggen, voor j > 0,
